Introduction à l’induction algorithmique (Par Gnouma Jérôme Kadouno)

Les mathématiques nous offrent souvent des règles de calcul toutes faites : « pour savoir si un nombre est divisible par 2, regarde son dernier chiffre », « pour 3, additionne ses chiffres », « pour 9, pareil », etc.

Mais derrière ces petites recettes se cache une idée plus grande : on peut transformer un nombre compliqué en un autre, plus petit, tout en gardant intacte l’information de divisibilité.

C’est un peu comme si l’on découpait une grande montagne en cailloux faciles à porter, mais qui gardent la même nature que la roche d’origine.

Dans ce travail, je présente deux théories :

Chacune de ces méthodes utilise le même principe : prendre le dernier chiffre, le multiplier par un « nombre magique » adapté, et le soustraire au reste du nombre. Et, en répétant ce petit jeu, on fait descendre les nombres jusqu’à des multiples évidents.

C’est simple, amusant, et surtout efficace.

Théorie A : Le Théorème Solitaire de 11 par 12.

Idée de base :

On veut savoir si un nombre est divisible par 11.

Au lieu de diviser directement, on applique une petite transformation toute simple :

Et on recommence, jusqu’à tomber sur un nombre facile à reconnaître (0, 11, 22, 33, …,à ou une dizaine de 11 comme aa0).

Si le résultat obtenu est de la forme négative -aa ou -aa0, il reste valide, car en modulaire

-a=a.

C’est ça que j’appelle la transformation solitaire par 12.

Exemple 1 : 121

Dernier chiffre = 1, reste = 12.

On fait : 12 – 1* 12 = 0.

Zéro, c’est clair, donc 121 est divisible par 11.

Et d’après mes observations, 121 est le premier 0 de la règle de 12. Il est le premier multiple de 11 donnant un résultat 0. De plus l’exploitation des nombres aa et aa0 pour les calculs n’est pas nécessaire dès lors qu’ils reproduisent soit aa ou -aa qui sont des multiples évidents de 11.

Si par exemple nous avons 55 ou 66, l’exploitation de 12 revient à toujours à leurs opposés.

C’est-à-dire : 55=5-5*12=-55 , 66=6-6*12=-66, 77=7-7*12=-77

Cela dit que tout aa par la transformation de 12 donne -aa.

Exemple 2 : 143

Dernier chiffre = 3, reste = 14.

On fait : 14 – 3*12 = -22.

-22, c’est la forme « 22 », un multiple de 11. Donc 143 est divisible par 11.

Version rapide (mode Turbo)

Parfois on peut enlever deux chiffres d’un coup et utiliser 12^2 = 144.

Exemple 3 : 1331

On prend le reste = 133 et le dernier chiffre = 1.

On fait : 133 – 1* 144 = -11.

C’est -11, Très Bien ! Donc 1331 est divisible par 11.

Exemple 4 : 13816

Dernier chiffre = 6, reste = 1381.

On fait : 1381 – 6*144 = 517.

On recommence :

517 = 51 – 7*12 = -33.

-33, c’est bien un multiple de 11. Donc 13816 est divisible par 11.

Que retenir ?

Avec cette méthode, on applique seulement des soustractions et des multiplications faciles, jusqu’à tomber sur un multiple évident de 11.

Bien que moins rapide, elle ouvre une nouvelle voie de calcul au côté de la méthode standard de 11. Elle se veut être alternative.

Théorie B : Le Théorème Turbo-Chika pour 7

Idée de base :

Pour tester la divisibilité par 7, il existe plusieurs méthodes.

La règle est simple :

Si le résultat tombe sur un multiple évident de 7 (0, 7, 14, 21, …), c’est gagné.

Exemple 1 : 777

77 + 5*7 = 112.

11 + 5* 2 = 21.

21 est multiple de 7, satisfait !

77 – 2*7 = 63.

6 – 2*3 = 0.

0 est multiple de 7, satisfait!

77 – 9* 7 = 14.

14 est multiple de 7, très direct .

Exemple 2 : 1855

185 + 5*5 = 210.

21 + 5* 0 = 21.

21 est multiple de 7.

185 – 9* 5 = 140.

14 – 9* 0 = 14.

14 est multiple de 7.

185 – 37*5 = 0.

Approche satisfaite en une itération.

Exemple 3 : 12985

On peut mélanger les méthodes :

1298 – 121*5 = 693.

69 – 16* 3 = 21.

21=2-1*2=0 ou 21=2+5*1=7, résultat satisfait dans les deux cas.

Donc 12985 est bien divisible par 7.

Que retenir ?

C’est ce que j’appelle le Turbo-Chika : une version accélérée, idéale pour les grands nombres.

Un point commun entre les deux théories

Si on regarde bien :

Dans les deux cas, le principe est le même :

transformer un nombre en un autre plus petit, mais qui garde la même “trace” de divisibilité.

C’est comme un jeu de réduction : à chaque étape, on simplifie, on simplifie… jusqu’à tomber sur un petit multipleévident facile à reconnaître.

Conclusion

Nous avons vu que pour 11, le nombre magique est 12, et que pour 7, on dispose d’une famille de nombres comme 2, 5, 9, 16, 23, …

Mais cette idée ne s’arrête pas là.

En réalité, chaque nombre a son secret, son propre « multiplicateur magique » qui permet de construire un critère de divisibilité en suivant le même principe.

Cela veut dire qu’on peut imaginer une bibliothèque complète de transformations, où chaque entier m aurait sa méthode de réduction. On n’aurait plus besoin de diviser directement : il suffirait d’appliquer ces petites règles jusqu’à tomber sur un résultat clair et facile à lire.

En allant plus loin, on pourrait même programmer ces méthodes dans des machines, qui calculeraient plus vite et de façon plus variée que la simple division. Ce serait une nouvelle manière de penser la divisibilité, plus créative, plus flexible, et plus proche de l’intelligence humaine dans le calcul.

Pour ce qui est de la généralité avec un langage professionnel et des théorèmes mathématiques, c’est déjà disponible.

Merci pour l’attention portée à cette méthodologie.

Gnouma Jérôme Kadouno

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